{"id":4561,"date":"2023-04-06T11:58:03","date_gmt":"2023-04-06T09:58:03","guid":{"rendered":"http:\/\/berlin-boehm.de\/Kanty\/?p=4561"},"modified":"2023-04-06T11:58:05","modified_gmt":"2023-04-06T09:58:05","slug":"wahrscheinlichkeitsrechnung","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/berlin-boehm.de\/Kanty\/archive\/4561","title":{"rendered":"Wahrscheinlichkeitsrechnung"},"content":{"rendered":"\n<style type=\"text\/css\" data-created_by=\"avia_inline_auto\" id=\"style-css-av-av_one_full-7acc1372e522d1472d3487e02738ae1c\">\n.flex_column.av-av_one_full-7acc1372e522d1472d3487e02738ae1c{\nbackground-color:#22689e;\n}\n<\/style>\n<div  class='flex_column av-av_one_full-7acc1372e522d1472d3487e02738ae1c av_one_full  avia-builder-el-0  el_before_av_hr  avia-builder-el-first  first flex_column_div  '     ><style type=\"text\/css\" data-created_by=\"avia_inline_auto\" id=\"style-css-av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c\">\n#top .av-special-heading.av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c{\nmargin:20px 20px 20px 20px;\npadding-bottom:0;\ncolor:#ffffff;\n}\nbody .av-special-heading.av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c .av-special-heading-tag .heading-char{\nfont-size:25px;\n}\n#top #wrap_all .av-special-heading.av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c .av-special-heading-tag{\npadding:5px 5px 5px 5px;\n}\n.av-special-heading.av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c .special-heading-inner-border{\nborder-color:#ffffff;\n}\n.av-special-heading.av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c .av-subheading{\nfont-size:15px;\n}\n<\/style>\n<div  class='av-special-heading av-lg4y0mr9-3c190a456d9c2be9a91101828849515c av-special-heading-h3 custom-color-heading blockquote classic-quote  avia-builder-el-1  avia-builder-el-no-sibling '><h3 class='av-special-heading-tag '  itemprop=\"headline\"  >Wahrscheinlichkeitsrechnung<\/h3><div class='av_custom_color av-subheading av-subheading_below'><p>Anstrengend, aber wichtig!<\/p>\n<\/div><div class=\"special-heading-border\"><div class=\"special-heading-inner-border\"><\/div><\/div><\/div><\/div><div  class='hr av-av_hr-91d7ccd583a503147498e120fee2ff9b hr-default  avia-builder-el-2  el_after_av_one_full  el_before_av_textblock '><span class='hr-inner '><span class=\"hr-inner-style\"><\/span><\/span><\/div><\/p>\n<section  class='av_textblock_section av-lg4y334y-3c03b04d61afe9cb0c657a221d1876ec '   itemscope=\"itemscope\" itemtype=\"https:\/\/schema.org\/BlogPosting\" itemprop=\"blogPost\" ><div class='avia_textblock'  itemprop=\"text\" ><p>Dieser gesamte Abschnitt ist sicherlich sehr technisch und erfordert deshalb mehr Konzentration beim Lesen als andere Abschnitte. Wir sollten uns aber davor h\u00fcten, zu schnell aufzugeben, denn die vorgestellten elementaren Rechenschritte sind \u00e4u\u00dferst wichtig. Es wird zwar versucht, die abschreckenden Begriffe der mathematischen Statistik zu vermeiden, aber das gelingt nicht immer. Am Ende dieses Abschnittes sollten wir die Grundregeln soweit begriffen haben, dass uns Kardinalfehler zuk\u00fcnftig nicht mehr unterlaufen. Wer dann immer noch Lust auf mehr hat, sollte dann ein \u201e<i>richtiges<\/i>\u201c Lehrbuch zur Wahrscheinlichkeitsrechnung heranziehen.<\/p>\n<p>Beginnen wir mit einer verbl\u00fcffenden Rechnung. Nehmen wir an, wir gehen zu einem Fu\u00dfballspiel. Auf dem Platz versammeln sich 23 Spieler \u2013 zwei Mannschaften und ein Schiedsrichter. Wir fragen alle Beteiligten nach ihrem Geburtstag und stellen fest, dass zwei Spieler am selben Tag Geburtstag haben, wobei wir allerdings das Geburtsjahr nicht ber\u00fccksichtigen. Wir halten das f\u00fcr einen gro\u00dfen Zufall, \u00fcberpr\u00fcfen aber in der darauffolgenden Woche bei einem anderen Fu\u00dfballspiel erneut die Geburtstage. Dieses Mal gibt es keine \u00dcbereinstimmung und wir vergessen den Vorgang wieder. Ein Jahr sp\u00e4ter blicken wir erneut bei einem Spiel auf die Geburtstage und entdecken erneut eine \u00dcbereinstimmung. Wir bitten jetzt einen befreundeten Mathematiker, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, wie h\u00e4ufig bei 23 Menschen zuf\u00e4llig ein Geburtstag \u00fcbereinstimmt. Das Ergebnis ist \u00fcberraschend. Wie hoch ist wohl die Wahrscheinlichkeit? K\u00f6nnten wir sie selbst berechnen? Die letzte Frage k\u00f6nnen wir bejahen. Wenn wir genau wissen w\u00fcrden, wie solche Wahrscheinlichkeiten zu berechnen sind, dann k\u00f6nnten wir die Aufgabe sogar sehr leicht l\u00f6sen. Eine L\u00f6sung findet sich im Internet unter dem Stichwort \u201e<i>Geburtstagsparadoxon<\/i>\u201c. Doch nun zum Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit betr\u00e4gt 50 Prozent. Wenn wir 100 beliebige Fu\u00dfballspiele \u00fcberpr\u00fcfen w\u00fcrden, dann werden wir in 50 F\u00e4llen eine \u00dcbereinstimmung entdecken.<\/p>\n<p>Wir sind \u00fcber das Ergebnis sehr \u00fcberrascht, weil wir intuitiv wahrscheinlich eher auf f\u00fcnf \u00dcbereinstimmungen getippt h\u00e4tten. Aufgrund dieser hohen Diskrepanz zwischen der tats\u00e4chlichen Wahrscheinlichkeit und der von uns intuitiv vermuteten, wird dieser Sachverhalt auch \u201e<i>Geburtstagsparadoxon<\/i>\u201c genannt. Doch raten wir hier ein bisschen weiter? Wie hoch betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr einen gemeinsamen Geburtstag, wenn wir die Zahl der eingeschlossenen Personen von 23 auf 36 erh\u00f6hen? Sie betr\u00e4gt dann \u00fcber 80 Prozent. Bei mehr als 50 Personen ist es schon eher unwahrscheinlich, dass wir keinen Doppelgeburtstag finden. Sollte sich also jemand gerade in einer Gesellschaft von 50 Personen befinden, dann sollte er den anderen eine entsprechende Wette anbieten.<\/p>\n<h2 id=\"sigil_toc_id_32\">17.1 Kolmogorow-Axiome<\/h2>\n<p>Wenn wir uns mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung besch\u00e4ftigen, dann werden wir immer wieder auf Begriffe aus der Mengenlehre sto\u00dfen, weil die Wahrscheinlichkeitstheorie mengentheoretisch definiert ist. Da Mengenlehre nicht jedermanns Sache ist, werden wir sie den Fachleuten \u00fcberlassen.<\/p>\n<p>Die Wahrscheinlichkeitsrechnung basiert auf einem axiomatischen System. Was ist das? Axiome sind f\u00fcr ein mathematisches Kalk\u00fcl der Fels, auf dem die weiteren Berechnungen und die Ableitung von Theoremen fu\u00dfen. Axiome werden nicht logisch abgeleitet, sondern sie werden als oberste Prinzipien gesetzt und als wahr angesehen. Sie k\u00f6nnen sich im eigentlichen Sinne nicht als wahr erweisen, sondern nur als fruchtbar. Wenn sie erfolgreich angewendet werden k\u00f6nnen und in sich widerspruchsfrei sind, dann unterstellen wir so etwas wie eine pragmatische \u201e<i>Wahrheit<\/i>\u201c.<\/p>\n<p>In der Wahrscheinlichkeitstheorie beruht das mathematische System auf drei Axiomen, die Andrei Kolmogorow 1933 publizierte. Das erste Axiom weist jedem Ereignis eine Zahl zwischen 0 und 1 zu. Das zweite Axiom definiert, dass f\u00fcr ein sicheres Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 betr\u00e4gt. Das dritte Axiom beschreibt, vereinfacht ausgedr\u00fcckt, wie sich die Wahrscheinlichkeiten addieren lassen. Aus diesen relativ einfachen Zutaten besteht der sichere Fels, auf dem das gesamte Geb\u00e4ude der Wahrscheinlichkeitstheorie ruht. In diesen Axiomen steht nicht ein inhaltlicher Satz \u00fcber dasjenige, was wir unter Wahrscheinlichkeit verstehen, sondern sie bilden lediglich das mathematische Fundament. F\u00fcr uns sind folgende Sachverhalte wichtig: Kann ein Ereignis nicht auftreten, dann ist die Wahrscheinlichkeit (probability) gleich Null (p=0). Ist ein Ereignis sicher, dann ist die Wahrscheinlichkeit gleich Eins (p=1). Alle anderen Wahrscheinlichkeiten liegen zwischen 0 und 1.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4400 alignright\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie19-300x116.png\" alt=\"\" width=\"403\" height=\"156\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie19-300x116.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie19-768x297.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie19-705x273.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie19.png 920w\" sizes=\"auto, (max-width: 403px) 100vw, 403px\" \/><\/div>\n<p>Wir wollen jetzt einige Berechnungen an einfachen Beispielen umgangssprachlich erl\u00e4utern. Wenn wir einen sechsseitigen normalen W\u00fcrfel zum Spielen verwenden, dann setzen wir die Wahrscheinlichkeit mit 1\/6 an, dass eine bestimmte Zahl gew\u00fcrfelt wird. Die ausgewogene Symmetrie des W\u00fcrfels legt das nahe, denn wir haben insgesamt sechs M\u00f6glichkeiten {1, 2, 3, 4, 5, 6} und wollen davon eine bestimmte Zahl w\u00fcrfeln. Sollte jemand 8mal hintereinander eine Sechs w\u00fcrfeln, dann w\u00fcrden wir vermuten, dass der W\u00fcrfel manipuliert wurde, weil wir das f\u00fcr \u00e4u\u00dferst unwahrscheinlich halten. Wie wahrscheinlich ist es aber genau, dass jemand 8mal hintereinander dieselbe Zahl w\u00fcrfelt? Dazu berechnen wir zuerst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine Sechs zu w\u00fcrfeln. Sie betr\u00e4gt 1\/6. Wenn wir jetzt ein weiteres Mal w\u00fcrfeln, dann betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr den zweiten Wurf ebenfalls 1\/6. Jeder Wurf hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, dass eine Sechs gew\u00fcrfelt wird. Wie berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Mal dasselbe Ereignis eintritt. Dazu werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Im ersten Wurf betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit 1\/6, im zweiten Wurf (1\/6)*(1\/6)=1\/36, im dritten Wurf (1\/6)*(1\/6)*(1\/6)=1\/216, \u2026. im achten Wurf dann (1\/6)8=1\/1.679.616. Das ist sehr unwahrscheinlich, so dass die Vermutung gerechtfertigt ist, dass es sich um einen manipulierten W\u00fcrfel handelt. Allerdings d\u00fcrfen wir niemals vergessen, dass auch unwahrscheinliche Ereignisse eintreten \u2013 wie zum Beispiel Lottogewinne oder Jackpots. Wir k\u00f6nnen unseren Mitspieler nicht allein deshalb f\u00fcr einen Betr\u00fcger halten, weil er viel Gl\u00fcck hatte. Unwahrscheinlich bedeutet nicht unm\u00f6glich. Selbst \u00e4u\u00dferst unwahrscheinliche Ereignisse k\u00f6nnen eintreten und zu schweren Sch\u00e4den f\u00fchren \u2013 wie wir nach dem schweren Erdbeben und Tsunami von den Atomkraftwerken in Fukushima wissen.<\/p>\n<p>Wenn wir also unterstellen, dass mehrere Ereignisse, die unabh\u00e4ngig voneinander sind, allesamt eintreten, dann m\u00fcssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren. Wenn wir Kopf oder Zahl einer M\u00fcnze werfen k\u00f6nnen, dann betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Kopf 50 Prozent bzw. 0,5. Wenn wir zweimal hintereinander Kopf werfen wollen, dann betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr 0,5*0,5=0,25. Wenn wir 10mal hintereinander Kopf werfen wollen, dann betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit daf\u00fcr (0,5)<sup>10<\/sup>=0,00098, das sind grob 1:1000 .<\/p>\n<p>Jetzt nehmen wir zwei W\u00fcrfel und wollen mindestens eine Sechs w\u00fcrfeln. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit? Sie betr\u00e4gt mit dem ersten W\u00fcrfel 1\/6 und mit dem zweiten W\u00fcrfel ebenfalls 1\/6. Also betr\u00e4gt unsere Chance (1\/6)+(1\/6)=2\/6. Unsere Chancen haben sich verdoppelt. Die Wahrscheinlichkeiten wurden addiert und damit die Chancen verbessert. Sp\u00e4testens an dieser Stelle werden sicherlich einige Leser denken, dass das doch nicht so einfach sein kann, mit Wahrscheinlichkeiten zu rechnen. Gl\u00fccklicherweise k\u00f6nnen wir viele Fragestellungen mit diesen einfachen Berechnungen beantworten. F\u00fcr komplexere Fragestellungen sind nat\u00fcrlich auch sehr umfangreiche Rechnungen erforderlich, die wir aber getrost den Spezialisten \u00fcberlassen k\u00f6nnen.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4401 alignleft\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie20-300x99.png\" alt=\"\" width=\"373\" height=\"123\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie20-300x99.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie20.png 680w\" sizes=\"auto, (max-width: 373px) 100vw, 373px\" \/><\/div>\n<p>Relativ einfach d\u00fcrfte ein Missverst\u00e4ndnis auszur\u00e4umen sein, das manchmal auftritt, wenn in einem Satz eine Konjunktion formuliert wird, eine \u201e<i>und\u201c<\/i>-Verkn\u00fcpfung. Unterstellen wir, dass Menschen zu 10 Prozent blond und zu 50 Prozent weiblichen Geschlechtes sind. Wie viele blonde Frauen gibt es dann? Sicherlich keinesfalls mehr als 10 Prozent, denn es m\u00fcsste die Schnittmenge aller Frauen und aller Blonden sein. Wenn sich die Blonden auf alle beiden Geschlechter gleichm\u00e4\u00dfig verteilen, dann sind es eher f\u00fcnf Prozent. Einige Menschen berechnen bei der Frage aber nicht die Schnittmenge, sondern vermuten intuitiv mehr als 10 Prozent. Offensichtlich sind sie von den 50 Prozent Frauen so beeindruckt, dass sie die eigentliche \u201e<i>und<\/i>\u201c-Verkn\u00fcpfung\u00a0 falsch interpretieren.<\/p>\n<h2 id=\"sigil_toc_id_33\">17.2 Aktenstudium<\/h2>\n<p>Wenden wir unsere neu erworbenen Rechenk\u00fcnste an. Dazu betrachten wir eine Situation aus dem Krankenhaus. Eine \u00e4hnliche Situation k\u00f6nnte aber auch in jedem anderen B\u00fcro eintreten, in dem Mitarbeiter mehrere Dokumente verwalten. Doch nun zur Geschichte: Es ist Chefarztvisite auf einer 30 Bettenstation und der Chef hat wieder einmal eine miese Laune. Genervt von der scheinbaren Schlamperei auf der Station kontrolliert er bei der w\u00f6chentlichen Krankenvisite drei Akten. Alle sind fehlerhaft, wie auch bei der letzten Visite. Mit dieser Aktion verschafft er sich einerseits die Bewunderung der nachgeordneten \u00c4rzte, weil er instinktiv und quasi hellseherisch Fehler findet, und demonstriert andererseits, dass nichts seiner Aufmerksamkeit entgeht und er jeden auch noch so kleinen Fehler aufdecken k\u00f6nnte \u2013 wenn er wollte. Bei der Visite hat er die Assistenten auch gleich rund gemacht. Schlie\u00dflich vermutete er eine gro\u00dfe Schlamperei, denn alle Krankenakten scheinen schlecht gef\u00fchrt zu werden. Seltsamerweise sind die anwesenden Ober\u00e4rzte bei der Visite immer sehr gelassen. Haben Sie sich mit den \u00fcbersinnlichen F\u00e4higkeiten des Chefs abgefunden? Geh\u00f6rt es zu den angeborenen Qualit\u00e4ten eines Chefarztes, zielsicher fehlerhafte Krankenakten zu finden? Es scheint tats\u00e4chlich so, als ob Chef\u00e4rzte mit hellseherischen F\u00e4higkeiten ausgestattet sind, denn sie finden bei der Visite fast immer problematische Akten \u2013 egal ob sorgf\u00e4ltig oder schlampig gearbeitet wurde. Aus der Sicht der eifrigen Assistenten ist das sehr \u00e4rgerlich und demotivierend, weil ihre Arbeit nicht nur nicht gew\u00fcrdigt, sondern sogar als schlampig eingestuft wird.<\/p>\n<p>Wie aber kommt es, dass der Chef immer die problematischen Akten findet? Das kann doch kein Zufall sein? Um die Frage zu beantworten, wie wahrscheinlich ein solcher \u201e<i>Gl\u00fccksgriff<\/i>\u201c w\u00e4re, m\u00fcsste zuerst gekl\u00e4rt werden, welcher Situation wir uns hier gegen\u00fcber sehen \u2013 sind alle 30 Akten fehlerhaft oder lediglich die entdeckten drei? Im ersten Fall w\u00e4re es f\u00fcr den Chef einfach, fehlerbehaftete Akten zu finden, denn schlie\u00dflich enthalten alle Akten Fehler. Gleichg\u00fcltig welche Akte gezogen wird, sie w\u00e4re ein Treffer. Da der Chefarzt von sich wei\u00df \u2013 oder zumindest selbstkritisch vermutet \u2013, dass er kein Hellseher ist, muss er annehmen, dass genau diese Situation vorliegt. Deshalb ist er auch so ver\u00e4rgert und unterstellt allgemeine Schlamperei. Ganz anders sieht es aus der Sicht des Stationsarztes aus. Der Arzt wei\u00df ganz sicher, dass er sehr sorgf\u00e4ltig gearbeitet hat und dass es nur diese drei fehlerbehafteten Akten unter den 30 Patientenakten hat geben k\u00f6nnen. Die Wahrscheinlichkeit unter diesen Bedingungen die richtigen drei Akten aus 30 Akten zu ziehen, l\u00e4sst sich leicht berechnen. F\u00fcr die erste Akte ist sie 1\/30, f\u00fcr die zweite 1\/29 und f\u00fcr die dritte 1\/28. Das Ereignis, alle drei Akten w\u00e4hrend der Visite zuf\u00e4llig zu finden, tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von (1\/30)*(1\/29)*(1\/28) = 0,00004 bzw. 0,004 Prozent ein. Diese extrem geringe Wahrscheinlichkeit l\u00e4sst Assistenten zu Recht stutzig werden. Da der Chefarzt dieses Wunder aber bei fast jeder Visite vollbringt, scheidet der Zufall definitiv aus. Chef\u00e4rzte scheinen eben doch \u00fcbersinnliche F\u00e4higkeiten zu besitzen.<\/p>\n<p>Da wir weder an die \u00fcbersinnlichen F\u00e4higkeiten des Chefarztes noch an die schlampige Arbeit des Assistenzarztes glauben, muss irgendwo ein Gedankenfehler schlummern. Wenn wir die Situation noch einmal genauer betrachten, ergibt sich ein viel detailreicheres Szenario: Es geht eigentlich gar nicht um Akten, sondern um die einzelnen Dokumente, die fehlerhaft sein k\u00f6nnen. So bem\u00fcht sich etwa ein Assistent, mit gr\u00f6\u00dfter Sorgfalt eine Krankenakte zu f\u00fchren, die aus n Teilen besteht, die allesamt einen Fehler aufweisen k\u00f6nnen. Eine kleine chirurgische Akte mag nur 15 relevante Dokumente enthalten, eine intensivmedizinische allerdings beinhaltet 50 und mehr Dokumente. Wir k\u00f6nnen also mindestens 15, 50 oder noch mehr Fehler pro Akte begehen, wenn nur ein Fehler pro Dokument unterstellt wird. Bei 30 Akten w\u00e4ren das 450 bzw. 1500 m\u00f6gliche Fehler. Selbst wenn wir sehr sorgf\u00e4ltig arbeiten, ist es offensichtlich nur eine Frage der Zeit, bis wir einen Dokumentationsfehler begehen. Aber wie findet der Chef dann aus den 450 bzw. 1500 Dokumenten so zielsicher die fehlerhaften? Ist hier Magie im Spiel oder t\u00e4uschen uns die Wahrscheinlichkeiten?<\/p>\n<p>Wir wollen jetzt berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine einzelne Akte vollst\u00e4ndig bzw. fehlerfrei ist. Dazu unterstellen wir zun\u00e4chst, dass der Arzt extrem gewissenhaft arbeitet \u2013 was bedeutet, dass er nur in einem Prozent Fehler macht. Wenn wir nun weiterhin unterstellen, dass die Akte nur aus 15 relevanten Dokumente besteht, dann ist die Akte mit einer Wahrscheinlichkeit von (0,99)<sup>15<\/sup> vollst\u00e4ndig. Dies entspricht einer Wahrscheinlichkeit von 0,86 \u2013 also 86 Prozent. Auch wenn solch eine extreme Sorgfalt aus der Sicht des Chefarztes w\u00fcnschenswert w\u00e4re, ist sie v\u00f6llig unrealistisch. Niemand arbeitet mit solch einer hohen Verl\u00e4sslichkeit.<\/p>\n<p>Eine sehr gute Chefarztsekret\u00e4rin sch\u00e4tzte intuitiv, dass sie in der Routine eine Akte bestehend aus zehn Teilen in ungef\u00e4hr 85 Prozent v\u00f6llig korrekt kontrollieren und abheften kann \u2013 vorausgesetzt, sie wird nicht gest\u00f6rt. Wenn \u00c4rzte ihrer Dokumentation mit 95prozentiger Sorgfalt nachkommen, dann d\u00fcrfen wir das mit gutem Gewissen als \u00e4u\u00dferst gut bezeichnen. Wahrscheinlich ist 85 Prozent aber eher die Regel. Berechnen wir, wie h\u00e4ufig eine Akte bestehend aus 15 Teilen fehlerfrei ist, wenn wir mit 85- oder 95prozentiger Genauigkeit arbeiten. Sie betr\u00e4gt im ersten Fall (0,85)<sup>15<\/sup> = 0,087, was 8,7 Prozent bedeutet, und im zweiten Fall (0,95)<sup>15<\/sup> = 0,46, also 46 Prozent. Sind wir also weniger sorgf\u00e4ltig, dann ist fast jede Akte unvollst\u00e4ndig und sind wir sehr sorgf\u00e4ltig, dann ist es immer noch die H\u00e4lfte.<\/p>\n<p>Nun wird klar, dass man bei den sehr umfangreichen Akten einer Intensivstation quasi immer einen Dokumentationsfehler entdecken kann. Wenn eine Akte aus 50 Teilen besteht, betragen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (0,85)<sup>50<\/sup> = 0,0003 und (0,95)<sup>50<\/sup> = 0,077. Als penibler Gutachter, der aufgrund einer Schadensklage eine Krankenakte auf jede Kleinigkeit sichtet, w\u00fcrde man immer eine unvollst\u00e4ndige umfangreiche Akte finden \u2013 allerdings nicht weil schlampig dokumentiert wurde, sondern weil es so viele relevante Dokumente sind.<\/p>\n<p>Chef\u00e4rzte sind keine Hellseher, sondern sie sind einfach nur schlau, und vielleicht sind sie deshalb zu Chefs geworden. Sie w\u00e4hlen bei der Visite diejenigen Akten aus, bei denen irgendetwas unklar gewesen sein k\u00f6nnte, bei der der Assistent im Stress war und nicht seine sonstige Sorgfalt walten lassen konnte. Da hier die Wahrscheinlichkeit niedrig ist, alles korrekt gemacht zu haben, findet der Chefarzt immer einen Fehler \u2013 selbst beim besten Assistenten -, wenn er die gesamte Akte durchforsten darf, bis er einen Fehler gefunden hat. Wenn Chef\u00e4rzte verl\u00e4sslich einsch\u00e4tzen wollen, wie gut ihre \u00c4rzte dokumentieren, dann sind die Visite oder eine wahllose Durchsicht der Akte dazu definitiv nicht geeignet.<\/p>\n<p>Wie kann der Assistent sich vor der unberechtigten Kritik des Chefarztes sch\u00fctzen? Sicherlich nicht, indem er den Chefarzt bei der Visite dem\u00fctig die Akte durchbl\u00e4ttern l\u00e4sst, bis er etwas gefunden hat. Denn aufgrund der beschriebenen Wahrscheinlichkeiten hat der Assistent keine Chance, \u201e<i>fehlerfrei<\/i>\u201c zu entkommen. Die einzige effektive Strategie besteht darin, die Ausgangssituation zu seinen Gunsten zu \u00e4ndern. Wenn der Chef die Akte sehen will, um etwas zu \u00fcberpr\u00fcfen, dann sollte er den Chef fragen, wonach er denn suche oder welches Dokument er denn einsehen wolle. W\u00fcrde nur dieses Dokument \u00fcberpr\u00fcft, dann entspr\u00e4che das eher der individuellen Fehlerwahrscheinlichkeit des Assistenten. Mit jeder weiteren Suche schwinden die Chancen des Assistenten, dass der Chef keinen Fehler findet.<\/p>\n<h2 id=\"sigil_toc_id_34\">17.3 Hausbau<\/h2>\n<p>Sehr viele Menschen bauen H\u00e4user oder lassen H\u00e4user bauen. Und fast alle berichten von Fehlern oder M\u00e4ngeln bei einem Hausbau. Das sollte uns jetzt eigentlich nicht mehr verwundern, weil wir grob absch\u00e4tzen k\u00f6nnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einem Hausbau alles glatt geht. Die Wahrscheinlichkeit betr\u00e4gt bei naiver Betrachtung 0 Prozent oder einfach Null. Doch warum ist das so und wie k\u00f6nnen wir unsere Chancen verbessern, in unser sch\u00f6nes Haus einzuziehen?<\/p>\n<p>Ein Bauingenieur, der den Bau eines Einfamilienhauses betreute, wurde gefragt, wie viele relevante Entscheidungen er beim Hausbau t\u00e4tigen und vorbereiten m\u00fcsse. Er vermutete ungef\u00e4hr 300. Als n\u00e4chstes wurde er gefragt, wie zuverl\u00e4ssig er seine Arbeit einsch\u00e4tzt. Er war sehr selbstkritisch und sch\u00e4tzte seine gesamte Fehlerquote mit 15 Prozent ein, weil auch ihm kleine Fehler unterlaufen. Wir k\u00f6nnen jetzt f\u00fcr 300 Entscheidungen die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass dem Bauingenieur \u00fcberhaupt keine Fehler unterlaufen. Wir f\u00fchren dazu drei Berechnungen durch, einmal mit einer Fehlerquote von 15 Prozent, beim zweiten Mal mit f\u00fcnf Prozent und beim dritten Mal mit einem Fehleranteil von 1 Prozent. Im ersten Fall w\u00e4re alles richtig in (0,85)<sup>300<\/sup>, was 6,7*10<sup>-22<\/sup> und damit praktisch einer \u201e<i>glatten<\/i>\u201c Null entspricht. Selbst f\u00fcr (0,95)<sup>300<\/sup> betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr Fehlerfreiheit nur 2,1*10<sup>-7<\/sup> bzw. 0,00000021. F\u00fcr die schon \u201e<i>unmenschliche<\/i>\u201c Genauigkeit von (0,99)<sup>300<\/sup> betr\u00e4gt sie immerhin noch f\u00fcnf Prozent. Es ist deshalb extrem unwahrscheinlich, dass dem Bauingenieur nicht auch ein kleiner Fehler unterl\u00e4uft.<\/p>\n<p>Solche Wahrscheinlichkeitsberechnungen sind sehr lehrreich. Nehmen wir einmal an, wir arbeiten bei Daimler und wollen ein fehlerfreies Auto bauen. Wir unterstellen 1000 relevante Teile und alle Teile haben eine Fehlerquote von 0,1 Prozent. Wie viele Autos werden fehlerfrei sein? Es werden (0,999)<sup>1000<\/sup> = 36,8 Prozent ohne Fehl und Tadel. Diese Quote w\u00e4re f\u00fcr Daimler zu gering. Wir m\u00fcssen die Fehlerquote also weiter verringern auf 0,01 Prozent. Damit w\u00fcrden (0,9999)<sup>1000<\/sup> = 90 Prozent fehlerfrei sein. Das reicht immer noch nicht. Erst bei einer Quote von 0,001 Prozent w\u00e4ren (0,99999)<sup>1000<\/sup> = 99 Prozent der Autos fehlerfrei. Jetzt verstehen wir auch, warum wir heutzutage genauso h\u00e4ufig zur Reparatur m\u00fcssen wie fr\u00fcher, obgleich die Zuverl\u00e4ssigkeit der einzelnen Teile um das Hundertfache gestiegen ist. Wenn wir wirklich ein zuverl\u00e4ssiges Auto suchen, dann ist ein einfacher alter Jeep zu bevorzugen, der deutlich weniger kritische Teile enth\u00e4lt als ein modernes elektronisch aufger\u00fcstetes Auto.<\/p>\n<p>K\u00f6nnen wir die nicht akzeptable Fehlerquote beim Hausbau verringern? Ja, wir k\u00f6nnen. Aber durch welche Methode k\u00f6nnen wir die Fehler verringern? Durch ein ganz einfaches Verfahren: Wir m\u00fcssen Kontrollen einf\u00fchren. Nehmen wir einmal an, dass die Fehlerquote in einem bestimmten Prozess 20 Prozent bzw. 0,2 betr\u00e4gt. So k\u00f6nnten die Akten in einem B\u00fcro nach der Endkontrolle immer noch zu 20 Prozent unvollst\u00e4ndig sein. Wie hoch w\u00e4re nun die Fehlerquote, wenn wir denselben Vorgang zweimal durchlaufen lassen w\u00fcrden. Wir k\u00f6nnten zum Beispiel dieselben Akten von einer anderen Person durchsehen lassen. Wenn wir auch f\u00fcr den zweiten Durchgang eine Fehlerquote von 20 Prozent unterstellen, dann betr\u00e4gt die gesamte Fehlerquote nur noch 0,2*0,2=0,04. Wir vermindern die Fehler durch eine weitere Kontrolle von 20 Prozent auf vier Prozent. Nach einer dritten Kontrolle\u00a0 betr\u00fcge die Fehlerquote sogar nur noch (0,2)<sup>3<\/sup>=0,008, also 0,8 Prozent.<\/p>\n<p>Aus \u00e4hnlichen Gr\u00fcnden werden zum Beispiel wichtige Daten pharmakologischer Studien zweimal von verschiedenen Personen erfasst und doppelt eingegeben. Wenn die Daten von jeder Person mit einer Fehlerquote von jeweils zwei Prozent eingegeben werden (p=0,02), dann betr\u00e4gt die gesamte Fehlerquote 0,02*0,02=0,0004, also 0,04 Prozent. Wir lernen, dass es immer sinnvoll ist, Kontrollen einzuf\u00fchren, um die gesamten Fehler zu vermindern. Diese Erkenntnis ist nicht wirklich \u00fcberraschend, weil wir aus der Erfahrung wissen, dass eine Kontrolle selten schadet. Jetzt k\u00f6nnen wir aber auch berechnen, wie sich Kontrollen auf definierte Risiken auswirken.<\/p>\n<p>Immer dann, wenn wir einen Ausfall von wichtigen Leistungen oder Maschinen bef\u00fcrchten, dann behelfen wir uns, indem wir ein zweites System parallel laufen lassen, so dass sich die Wahrscheinlichkeit eines gleichzeitigen Fehlers drastisch vermindert. Deshalb gibt es in Flugzeugen oder Kraftwerken immer ein vollst\u00e4ndiges Zweitsystem. Wenn der Ausfall des prim\u00e4ren Systems als gering angesehen wird, zum Beispiel mit 0,1 Prozent, dann verringert das zweite System die Wahrscheinlichkeit auf (0,001)<sup>2<\/sup>=0,000001. Aus \u00e4hnlichen Gr\u00fcnden sollten wir auch nicht allein durch die W\u00fcste reisen. Je mehr Systeme (Kamele) durch die W\u00fcste wandern, umso wahrscheinlicher kommen einige lebend am Ziel an. Was nat\u00fcrlich niemals ausschlie\u00dft, dass nicht auch sehr seltene Ereignisse irgendwann eintreten. In der Umgangssprache hat sich \u201e<i>Murphys Gesetz<\/i>\u201c eingeb\u00fcrgert, das 1949 die bekannte Weisheit in einem eing\u00e4ngigen Sinnspruch ausdr\u00fcckte: \u201e<i>If anything can go wrong, it will<\/i>.\u201c Er war Ingenieur der amerikanischen Luftwaffe und dr\u00fcckte seine pers\u00f6nliche Erfahrung bei technischen Experimenten aus. Offensichtlich hatten sie dort einen etwas schusseligen Techniker, f\u00fcr den galt: \u201e<i>If there is any way to do it wrong, he will find it.<\/i>\u201c<\/p>\n<\/div><\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[41],"tags":[],"class_list":["post-4561","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistikbuch"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.8 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Wahrscheinlichkeitsrechnung - Berliner Gelassenheit<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/Kanty\/archive\/4561\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Wahrscheinlichkeitsrechnung - 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