{"id":4558,"date":"2023-04-06T11:54:37","date_gmt":"2023-04-06T09:54:37","guid":{"rendered":"http:\/\/berlin-boehm.de\/Kanty\/?p=4558"},"modified":"2023-04-06T11:54:39","modified_gmt":"2023-04-06T09:54:39","slug":"wahrscheinlichkeit","status":"publish","type":"post","link":"http:\/\/berlin-boehm.de\/Kanty\/archive\/4558","title":{"rendered":"Wahrscheinlichkeit"},"content":{"rendered":"\n<style type=\"text\/css\" data-created_by=\"avia_inline_auto\" id=\"style-css-av-av_one_full-7acc1372e522d1472d3487e02738ae1c\">\n.flex_column.av-av_one_full-7acc1372e522d1472d3487e02738ae1c{\nbackground-color:#22689e;\n}\n<\/style>\n<div  class='flex_column av-av_one_full-7acc1372e522d1472d3487e02738ae1c av_one_full  avia-builder-el-0  el_before_av_hr  avia-builder-el-first  first flex_column_div  '     ><style type=\"text\/css\" data-created_by=\"avia_inline_auto\" id=\"style-css-av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905\">\n#top .av-special-heading.av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905{\nmargin:20px 20px 20px 20px;\npadding-bottom:0;\ncolor:#ffffff;\n}\nbody .av-special-heading.av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905 .av-special-heading-tag .heading-char{\nfont-size:25px;\n}\n#top #wrap_all .av-special-heading.av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905 .av-special-heading-tag{\npadding:5px 5px 5px 5px;\n}\n.av-special-heading.av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905 .special-heading-inner-border{\nborder-color:#ffffff;\n}\n.av-special-heading.av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905 .av-subheading{\nfont-size:15px;\n}\n<\/style>\n<div  class='av-special-heading av-lg4xqrrx-de2479866267b1a3298d7438c6946905 av-special-heading-h3 custom-color-heading blockquote classic-quote  avia-builder-el-1  avia-builder-el-no-sibling '><h3 class='av-special-heading-tag '  itemprop=\"headline\"  >Wahrscheinlichkeit<\/h3><div class=\"special-heading-border\"><div class=\"special-heading-inner-border\"><\/div><\/div><\/div><\/div><div  class='hr av-av_hr-91d7ccd583a503147498e120fee2ff9b hr-default  avia-builder-el-2  el_after_av_one_full  el_before_av_textblock '><span class='hr-inner '><span class=\"hr-inner-style\"><\/span><\/span><\/div><\/p>\n<section  class='av_textblock_section av-lg4xxpup-ee239b3fbccc334b9fb59bf797eb7c4d '   itemscope=\"itemscope\" itemtype=\"https:\/\/schema.org\/BlogPosting\" itemprop=\"blogPost\" ><div class='avia_textblock'  itemprop=\"text\" ><p>Wir leben in einer Welt, in der wir t\u00e4glich mit Begriffen wie \u201e<i>Wahrscheinlichkeit<\/i>\u201c, \u201e<i>Risiken<\/i>\u201c oder \u201e<i>Chancen<\/i>\u201c konfrontiert werden. Redewendungen wie \u201e<i>das ist wahrscheinlich<\/i>\u201c, \u201e<i>das ist risikoreich<\/i>\u201c, \u201e<i>hier hast Du gro\u00dfe Chancen<\/i>\u201c oder \u201e<i>das ist ziemlich sicher<\/i>\u201c gehen uns locker \u00fcber die Zunge, ohne dass wir \u00fcber die Bedeutung dieser Rede nachdenken. Wir verstehen diese Begriffe intuitiv und k\u00f6nnen uns mit ihnen im Alltag gut verst\u00e4ndigen. Damit k\u00f6nnten wir uns zufrieden geben, wenn wir nicht gerade \u00fcber die wissenschaftliche Methodologie nachdenken w\u00fcrden, denn hinter diesen Begriffen verbergen sich fundamentale Ansichten \u00fcber unser Weltverst\u00e4ndnis. Es ist \u00e4u\u00dferst wichtig, dass wir uns hier mit den verschiedenen Bedeutungen des Begriffes \u201e<i>Wahrscheinlichkeit<\/i>\u201c vertraut machen.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4394 alignright\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie13-300x98.png\" alt=\"\" width=\"361\" height=\"118\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie13-300x98.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie13-768x251.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie13-705x230.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie13.png 800w\" sizes=\"auto, (max-width: 361px) 100vw, 361px\" \/><\/div>\n<p>Erst dadurch gelangen wir zu einem tieferen Verst\u00e4ndnis, was wir von einer wissenschaftlichen Methodologie erwarten k\u00f6nnen und was nicht. M\u00f6glicherweise werden einige bereits gestutzt haben, weil wir von mehreren Bedeutungen der Wahrscheinlichkeit sprachen und nicht nur einer einzigen. Und genau das ist das Problem.<\/p>\n<p>Auch wenn wir zun\u00e4chst nicht sagen k\u00f6nnen, was wir genau unter Wahrscheinlichkeit verstehen, so verf\u00fcgen wir doch \u00fcber ein intuitives Verst\u00e4ndnis. Wahrscheinlichkeit charakterisiert Ereignisse und keine Gegenst\u00e4nde. Wir sprechen nicht von einem \u201e<i>wahrscheinlichen<\/i>\u201c Gegenstand, sondern nur dar\u00fcber, dass ein Ereignis wahrscheinlich eintritt. Ein wahrscheinliches Ereignis zeichnet sich dadurch aus, dass es nicht immer eintritt, sondern nur manchmal. Wenn es sehr selten eintritt, ist es unwahrscheinlich, und wenn es meistens eintritt, ist es sehr wahrscheinlich. Dieses plausible intuitive Verst\u00e4ndnis mag f\u00fcr den Alltag gen\u00fcgen. Es ist aber nicht ausreichend, um irgendetwas zu berechnen. F\u00fcr die moderne mathematische Statistik ist solch eine vage Erkl\u00e4rung nicht angemessen. Wir ben\u00f6tigen unbedingt eine aussagekr\u00e4ftigere Definition.<\/p>\n<p>Auch hier kann uns ein Blick zur\u00fcck in die Geschichte helfen. Deshalb wollen wir uns fragen, ob jemals eine allseits anerkannte Definition der Wahrscheinlichkeit existierte? \u00dcberraschenderweise nicht. Man betrachtete Wahrscheinlichkeiten in der Antike als \u00e4u\u00dferst minderwertig. Man suchte damals in den Wissenschaften nach definitiven Wahrheiten und nicht nach \u201e<i>belanglosen<\/i>\u201c oder \u201e<i>vorl\u00e4ufigen<\/i>\u201c Wahrscheinlichkeiten. Von den antiken Wissenschaften k\u00f6nnen wir deshalb keine Antworten erwarten. Wo aber sollen wir sonst suchen? Vielleicht werden wir bei den Spielern f\u00fcndig. F\u00fcr uns ist es heute selbstverst\u00e4ndlich, Gl\u00fccksspiele oder Wetten gedanklich mit Wahrscheinlichkeiten zu verkn\u00fcpfen. Kein Poker- oder Roulettespieler w\u00fcrde langfristig \u201e<i>erfolgreich<\/i>\u201c spielen k\u00f6nnen, ohne die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Spielz\u00fcge zu ber\u00fccksichtigen. Wir k\u00f6nnen guten Gewissens unterstellen, dass niemand von uns eine unfaire Wette abschlie\u00dfen w\u00fcrde, bei der er immer verlieren w\u00fcrde. Da bereits in der Antike verschiedene Gl\u00fcckspiele wie W\u00fcrfeln bekannt waren, sollte man vermuten, dass bereits die Griechen oder R\u00f6mer intensiv \u00fcber Wahrscheinlichkeiten nachgedacht haben, denn schlie\u00dflich konnte man viel Geld dabei gewinnen. Das ist aber nicht der Fall. Es gab damals weder so etwas wie eine Wahrscheinlichkeitstheorie noch eine Mathematik der Wahrscheinlichkeit. Eine wirklich systematische Auseinandersetzung mit Wahrscheinlichkeiten ist uns nicht bekannt, was nat\u00fcrlich nicht ausschlie\u00dft, dass die wirklich erfolgreichen Zocker der Antike nicht tats\u00e4chlich wussten, wie man Wahrscheinlichkeiten berechnete oder vielleicht auch nur intuitiv erfasste. Da die Zocker der Antike aber kein Interesse daran haben konnten, dass ihr Wissen \u00fcber Wahrscheinlichkeiten allgemein bekannt wurde, wundert es auch nicht, dass wir dar\u00fcber keine Aufzeichnungen finden.<\/p>\n<p>Insgesamt hatte man sich in der Antike und im Mittelalter damit abgefunden, dass Unw\u00e4gbarkeiten wie Wetterumbr\u00fcche oder andere Naturkatastrophen den Alltag bestimmten. Und man war sich zugleich sicher, dass eigentlich alles in der Welt bestimmten Regeln der Natur oder der G\u00f6tter bzw. Gottes folgte. Wirklich Zuf\u00e4lliges unterlag letztlich immer einem Gottesurteil. Niemand kam damals auf die Idee, nach einer inhaltlichen Definition von Wahrscheinlichem zu suchen. Die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird zwar mit einem Briefwechsel angegeben, aber der eigentliche Durchbruch hatte einen wirtschaftlichen Hintergrund. Damals wollten die H\u00e4ndler wissen, wie sinnvoll die Investitionen in bestimmte gef\u00e4hrliche Handelsrouten waren, die von Piraten, Kriegen oder gef\u00e4hrlichem Wetter beeinflusst wurden. Es war das Versicherungswesen, das rasch erkannte, welche Macht in einer korrekten Wahrscheinlichkeitsberechnung lag.<\/p>\n<p>Als man in der Neuzeit begann, sich systematisch mit Wahrscheinlichkeiten zu besch\u00e4ftigen, sch\u00e4lten sich mehrere Herangehensweisen heraus, die zu un\u00fcberbr\u00fcckbaren Diskrepanzen f\u00fchrten. Auch heute sind die Statistiker weit davon entfernt, \u00fcber dasselbe zu sprechen, wenn sie \u00fcber wahrscheinliche Ereignisse reden. Diese Unbestimmtheit sollte uns eigentlich verwundern, denn als Laien h\u00e4tten wir ein gemeinsames Verst\u00e4ndnis unterstellt, zumal alle so selbstbewusst mit Wahrscheinlichkeiten rechnen. Wie l\u00e4sst sich dieser Widerspruch erkl\u00e4ren? Es existiert zwar ein allgemein anerkanntes mathematisches Kalk\u00fcl, basierend auf drei einfachen Axiomen, aber eine inhaltliche Bestimmung der Wahrscheinlichkeit findet sich dort nicht. Die Mathematiker unterstellen einfach, dass wir wissen, was Wahrscheinlichkeit bedeutet, und sie demonstrieren lediglich, dass wir damit konsistent und widerspruchsfrei rechnen k\u00f6nnen. Wahrscheinlichkeit wird im mathematischen Kalk\u00fcl einfach als undefinierter Grundbegriff verwendet. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung berechnen wir demnach etwas, aber wir wissen nicht genau was. Wir reden \u00fcber Wahrscheinlichkeit, wissen aber nicht genau, wie wir sie interpretieren sollen. Das ist doch kaum zu glauben?<\/p>\n<h2 id=\"sigil_toc_id_29\">16.2 Klassische Definition<\/h2>\n<p>Blicken wir erneut in die Vergangenheit zur\u00fcck und betrachten wir den Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dieser wird allgemein auf das Jahr 1654 datiert, denn in diesem Jahr korrespondierten die Mathematiker Blaise Pascal und Pierre de Fermat \u00fcber die Gewinnchancen beim W\u00fcrfelspiel. Sp\u00e4ter definierte Pierre-Simon Laplace die Wahrscheinlichkeit als ein Verh\u00e4ltnis von zwei H\u00e4ufigkeiten: die Ereignisse, die uns interessieren, und die Gesamtmenge aller Ereignisse \u00fcberhaupt. Wenn wir zum Beispiel einen sechsseitigen W\u00fcrfel betrachten, dann haben wir sechs M\u00f6glichkeiten, eine bestimmte Zahl zu w\u00fcrfeln. Die Gesamtmenge\u00a0 betr\u00e4gt also sechs. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, exakt eine Zwei zu w\u00fcrfeln. Da wir genau ein einziges Ereignis betrachten, w\u00e4re die Wahrscheinlichkeit 1\/6, weil \u201e<i>Ereignisse\/Gesamtmenge<\/i>\u201c gilt.<\/p>\n<p>Diese Definition \u201e<i>Ereignisse\/Gesamtmenge<\/i>\u201c steht in fast allen Lehrb\u00fcchern zur Einf\u00fchrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und sie wird immer an Beispielen von M\u00fcnzen, W\u00fcrfeln und Urnen erl\u00e4utert. Wir wollen das an weiteren Beispielen vertiefen. Wir werfen eine M\u00fcnze, bei der auf der einen Seite eine Br\u00fccke und auf der anderen Seite eine Zahl eingepr\u00e4gt ist.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4395 alignleft\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie14-300x77.png\" alt=\"\" width=\"343\" height=\"88\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie14-300x77.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie14-768x196.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie14-705x180.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie14.png 800w\" sizes=\"auto, (max-width: 343px) 100vw, 343px\" \/><\/div>\n<p>Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Br\u00fccke oben liegt? Wir werden sofort sagen: 50 Prozent. In der H\u00e4lfte der F\u00e4lle liegt die Br\u00fccke oben und in der anderen H\u00e4lfte die Zahl. Es gibt immer ein einziges Ereignis von zwei M\u00f6glichkeiten, so dass die Wahrscheinlich \u00bd betr\u00e4gt. Stellen wir uns eine Kiste mit 100 B\u00e4llen vor, von denen 99 wei\u00df und einer schwarz ist. Wir schlie\u00dfen die Augen und nehmen einen Ball aus der Kiste. Wie wahrscheinlich ist es, dass wir den schwarzen Ball in den H\u00e4nden halten? Die L\u00f6sung springt uns in die Augen: 1\/100 oder 1 Prozent.<\/p>\n<p>Kehren wir jetzt zu unserem W\u00fcrfel zur\u00fcck. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei zu w\u00fcrfeln. Wenn wir mit einem sechsseitigen W\u00fcrfel einmal w\u00fcrfeln, dann gibt es sechs M\u00f6glichkeiten. Wenn wir eine Zwei w\u00fcrfeln wollen, dann betr\u00e4gt die Wahrscheinlichkeit 1\/6. Und wenn wir eine Drei w\u00fcrfeln wollen, dann betr\u00e4gt sie ebenfalls 1\/6. Das macht f\u00fcr beide zusammen 2\/6 bzw. 1\/3. Eigentlich klingt diese Laplace\u2019sche Definition doch einfach, brauchbar und intuitiv richtig. Es gibt keinen offensichtlichen Grund, dieser bestechenden Logik nicht zuzustimmen, dass Wahrscheinlichkeiten nichts anderes als das Verh\u00e4ltnis der beiden H\u00e4ufigkeiten sind.<\/p>\n<p>Aber leider sind abstrakte Urnen- oder W\u00fcrfelbeispiele nicht wirklich hilfreich, um uns im Alltag oder in der Wissenschaft zu unterst\u00fctzen, wie wir gleich erkennen werden. Wir unterstellen n\u00e4mlich stillschweigend in allen Beispielen, dass die angef\u00fchrten Ereignisse immer gleich wahrscheinlich sind. Wir unterstellen hier Idealbedingungen, die real nicht erf\u00fcllbar sind. Wir unterstellen im Modell \u201e<i>W\u00fcrfeln<\/i>\u201c, dass alle Zahlen immer gleich h\u00e4ufig gew\u00fcrfelt werden, aber ob das auch zutrifft, wissen wir nicht. Uns k\u00f6nnte ja ein Falschspieler gegen\u00fcbersitzen, der unsere Gutgl\u00e4ubigkeit ausnutzt, einen manipulierten W\u00fcrfel verwendet und damit die Wahrscheinlichkeiten zu seinen Gunsten verf\u00e4lscht. Dasselbe gilt nat\u00fcrlich auch f\u00fcr den M\u00fcnzwurf. Auch hier unterstellen wir, dass Kopf und Zahl gleich h\u00e4ufig fallen.<\/p>\n<p>Zus\u00e4tzlich bleibt eine praktische Komponente unber\u00fccksichtigt, die ebenfalls unser Verst\u00e4ndnis \u00fcber Wahrscheinlichkeiten beeinflusst. Wenn wir mit jemandem spielen, eine M\u00fcnze zu werfen, dann reicht es nicht aus, einfach mit dem Spiel zu beginnen. Wir m\u00fcssen vielmehr vor dem ersten M\u00fcnzwurf Regeln festlegen, wann der Wurf als g\u00fcltig zu betrachten ist. Sollte zum Beispiel die M\u00fcnze auf der Kante liegen, dann werden wir den Wurf als ung\u00fcltig werten. Es k\u00f6nnte auch sein, dass wir festlegen, dass die M\u00fcnze mindestens 50 cm in die Luft geworfen werden muss, dass sie mit der Hand gefangen werden muss oder auf einem Tisch landen muss. Welche Regeln wir auch immer vereinbaren, die Wahrscheinlichkeit von 0,5 bzw. 50 Prozent bzw. \u00bd akzeptieren wir nur f\u00fcr g\u00fcltige W\u00fcrfe mit einer symmetrischen, nicht manipulierten M\u00fcnze. Die Laplace Definition der Wahrscheinlichkeit ist deshalb so bestechend, weil sie so einfach ist. Sie beruht aber auf theoretischen Erw\u00e4gungen \u00fcber die Gleichh\u00e4ufigkeit von Ereignissen, die nicht realistisch sind. Die klassische Definition zeigt uns lediglich f\u00fcr sehr konstruierte F\u00e4lle, wie wir die Wahrscheinlichkeit aus unterstellten H\u00e4ufigkeiten berechnen k\u00f6nnen.<\/p>\n<p>Aus dieser unbefriedigenden Situation entwickelten sich in der Folge zwei verschiedene Schulen, die die Wahrscheinlichkeit \u00fcber Jahrhunderte nicht nur unterschiedlich interpretierten, sondern die zum Teil auch zu unvertr\u00e4glichen Schlussfolgerungen gelangten. An einer kleinen Geschichte wollen wir verdeutlichen, wie relevant die \u201e<i>richtige<\/i>\u201c Interpretation der Wahrscheinlichkeit sein kann. Stellen wir uns vor, wir sind als Arzt im Krankenhaus besch\u00e4ftigt. Eine 75j\u00e4hrige r\u00fcstige Dame mit einem kleinen Darmkrebs wird aufgenommen. Da die Dame neben einem gut eingestellten Bluthochdruck und einer Zuckerkrankheit (Diabetes mellitus) keine weiteren Risikofaktoren aufweist, wird ihr die operative Entfernung des Tumors empfohlen, um sie vom Krebsleiden zu heilen. Nach der \u00fcblichen Operationsaufkl\u00e4rung fragt die Patientin besorgt, ob sie einen k\u00fcnstlichen Darmausgang bek\u00e4me und wie hoch das Risiko f\u00fcr ein Problem mit der Darmnaht sei. Wir teilen ihr mit, dass ein Darmausgang nur in sehr seltenen F\u00e4llen angelegt werde und ein lebensbedrohlicher Nahtbruch auch nur selten auftrete. Die Patientin l\u00e4sst nicht locker und bittet, die Begriffe \u201e<i>sehr selten<\/i>\u201c und \u201e<i>selten<\/i>\u201c zu pr\u00e4zisieren. Daraufhin geben wir das Risiko f\u00fcr einen k\u00fcnstlichen Darmausgang mit 1:1000 und das Risiko f\u00fcr einen gef\u00e4hrlichen Nahtbruch mit 1:20 an.<\/p>\n<p>Durch diese Pr\u00e4zisierung ist sie offensichtlich beruhigt, aber ihre geisteswissenschaftlich gebildete und besorgte Tochter will wissen, woher wir denn so genau w\u00fcssten, wie hoch das Risiko bei ihrer Mutter sei. Wir erkl\u00e4ren ihr, dass dieses die allgemein bekannten Wahrscheinlichkeiten aus der Literatur seien, die auch der eigenen Erfahrung entspr\u00e4chen. Sie erwidert daraufhin, dass sie nicht w\u00fcsste, was diese pr\u00e4zisen Wahrscheinlichkeiten bei ihrer Mutter bedeuten sollten. Die Tochter fragt, wodurch wir sicher sein k\u00f6nnten, dass bei ihrer Mutter genau diese und keine anderen Wahrscheinlichkeiten zutreffen w\u00fcrden.<\/p>\n<p>Damit trifft die Tochter nat\u00fcrlich einen wunden Punkt. Die genannten Wahrscheinlichkeiten sind allesamt der Literatur entnommen, die Patienten aller Altersgruppen mit unterschiedlichen Erkrankungen zusammenfasst. Niemand w\u00fcrde aber ernsthaft auf die Idee kommen, dass das Risiko f\u00fcr einen sehr kranken 85j\u00e4hrigen Patienten mit einem relativ gesunden 50j\u00e4hrigen Patienten vergleichbar ist. Dennoch werden die Wahrscheinlichkeiten als relative H\u00e4ufigkeiten aus solchen umfangreichen Populationen entnommen. Wenn wir das Risiko bzw. die Wahrscheinlichkeit einer Komplikation bei einem konkreten Patienten verl\u00e4sslich angeben wollten, dann m\u00fcssten wir die individuelle Situation ber\u00fccksichtigen. Die Tochter bem\u00e4ngelt zu Recht, wie wir es wagen k\u00f6nnten, uns nur auf die relativen H\u00e4ufigkeiten aus Sammelstatistiken zu beziehen, um das individuelle Risiko ihrer Mutter zu bestimmen.<\/p>\n<h2 id=\"sigil_toc_id_30\">16.3 Frequentismus<\/h2>\n<p>Wenden wir uns nun der ersten Interpretation zu, die auch statistische, frequentistische oder objektivistische Wahrscheinlichkeit genannt wird. Sie entwickelte sich aus der Laplace\u2019schen Definition und wurde im letzten Jahrhundert von Richard v. Mises und Hans Reichenbach im Detail ausgearbeitet. Nach ihr ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die relative H\u00e4ufigkeit, mit der es in einer gro\u00dfen Anzahl gleicher, wiederholter Experimente bzw. Versuche auftritt. Wenn wir also unendlich h\u00e4ufig mit einem sechsseitigen W\u00fcrfel w\u00fcrfeln, dann wird auf lange Sicht die Wahrscheinlichkeit einer Zahl zu 1\/6 konvergieren. Dies schlie\u00dft nat\u00fcrlich nicht aus, dass bei den ersten vier W\u00fcrfen jedes Mal eine Eins gew\u00fcrfelt wird, noch dass bei 10.000 W\u00fcrfen die Wahrscheinlichkeit von 1\/6 minimal abweicht. Aber wenn wir theoretisch unendlich oft spielen, dann stabilisiert sich der Wert bei 1\/6. Der Grenzwert der H\u00e4ufigkeit einer unendlichen Reihe ist somit die gesuchte Wahrscheinlichkeit.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4396 alignright\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie15-300x176.png\" alt=\"\" width=\"441\" height=\"259\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie15-300x176.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie15-768x450.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie15-705x413.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie15.png 820w\" sizes=\"auto, (max-width: 441px) 100vw, 441px\" \/><\/div>\n<p>Diese Interpretation der Wahrscheinlichkeit als relative H\u00e4ufigkeit (frequency) wird heute in der wissenschaftlichen Welt unterstellt und als unproblematisch empfunden. Der Grund liegt in dem Weltbild der modernen Wissenschaften. Die Wissenschaftler glauben, dass es eine vom Menschen unabh\u00e4ngige Realit\u00e4t zu entdecken gibt und dass die Aufgaben der Wissenschaften darin bestehen, diese Realit\u00e4t zu erforschen, die realen Objekte mit ihren Eigenschaften zu beschreiben und ihre Gesetzm\u00e4\u00dfigkeiten zu entr\u00e4tseln. Wenn der Wissenschaftler nach 100 Messungen feststellt, dass der Gegenstand 37\u00b10,5 kg wiegt, dann vermutet er, dass sich das tats\u00e4chliche Gewicht nach weiteren Messungen in diesem Bereich stabilisiert, um uns bei theoretisch unendlich vielen Messungen das genaue Gewicht zu verraten. Es ist nur eine Frage der pragmatischen Sparsamkeit, dass wir nach einigen Messungen aufh\u00f6ren und uns mit einer f\u00fcr die praktischen Zwecke ausreichenden Messgenauigkeit zufrieden geben. Das klingt doch plausibel, oder? Allerdings sehen die statistischen Spezialisten diese Definition als gescheitert an, weil sich aus der Konvergenz von H\u00e4ufigkeiten nicht logisch notwendig der Grenzwert ergibt. Wir bleiben tats\u00e4chlich nur bei einer praktischen Sicherheit stehen, die je nach Interessenlage unterschiedlich ausgepr\u00e4gt ist.<\/p>\n<p>Dieser Wahrscheinlichkeitsbegriff scheint auf den ersten Blick genau das richtige Instrument f\u00fcr die wissenschaftliche Betrachtungsweise zu sein, denn wir streben nach objektiven, von Menschen unabh\u00e4ngigen Erfahrungen. Wir suchen H\u00e4ufigkeiten, die gez\u00e4hlt werden k\u00f6nnen. Von diesen gemessenen H\u00e4ufigkeiten schlie\u00dfen wir dann auf die Realit\u00e4t. Da die H\u00e4ufigkeiten einen festen Objektbezug zu haben scheinen, wird der Begriff nicht nur \u201e<i>frequentistisch<\/i>\u201c, sondern auch \u201e<i>objektivistisch<\/i>\u201c genannt. Es wird immer suggeriert, dass wir uns bei dieser Verwendung auf die Realit\u00e4t beziehen und die \u201e<i>objektive<\/i>\u201c Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfassen k\u00f6nnen. Wahrscheinlichkeit wird so als ein Merkmal von Ereignissen aufgefasst, das etwas mit beobachtbaren relativen H\u00e4ufigkeiten zu tun hat.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4397 alignright\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie16-300x144.png\" alt=\"\" width=\"377\" height=\"181\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie16-300x144.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie16-768x370.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie16-705x339.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie16.png 800w\" sizes=\"auto, (max-width: 377px) 100vw, 377px\" \/><\/div>\n<p>Bei der kurzen Beschreibung der frequentistischen Sichtweise sollte uns etwas aufgefallen sein. Wir haben zu keinem Zeitpunkt etwas \u00fcber einzelne Individuen gesagt? Alles betraf immer nur Gruppen oder H\u00e4ufigkeiten in einer gr\u00f6\u00dferen Population. Es ging um den Regelmenschen und nicht um das konkrete Individuum. Jetzt verstehen wir auch die Tochter, die die Wahrscheinlichkeiten \u00fcber die Risiken bei der Operation nicht interpretieren konnte. Die \u00c4rzte hatten das Risiko mit 1:1000 bzw. 1:20 angegeben. Nach der frequentistischen Interpretation k\u00f6nnten wir der Tochter h\u00f6chstens sagen, dass diese Wahrscheinlichkeiten sich abbilden w\u00fcrden, wenn wir ihre Mutter unter denselben Bedingungen unendlich h\u00e4ufig operieren w\u00fcrden. Die Tochter w\u00fcrde uns zu Recht v\u00f6llig verst\u00e4ndnislos anschauen, wenn wir ihr diese Erkl\u00e4rung anbieten w\u00fcrden. Sie besteht darauf, dass man ihr das konkrete Risiko f\u00fcr die Operation mitteilt und nicht das Risiko f\u00fcr unendlich viele Operationen.<\/p>\n<p>W\u00e4hlen wir ein weiteres Beispiel, um uns die theoretischen Annahmen des Frequentismus zu verdeutlichen. Auf einer Party teilte uns eine gute Freundin mit, dass sie schwanger ist. Sie fragte eine Hebamme, die gerade neben ihr stand, wie wahrscheinlich sie einen Knaben geb\u00e4ren wird. Die Hebamme sagte, dass die Wahrscheinlichkeit 51 Prozent betr\u00e4gt. Wir glauben die Angabe nicht und \u00fcberpr\u00fcfen die Ergebnisse der letzten 1000 Geburten eines Krankenhauses. Wir finden 521 Knaben und 497 M\u00e4dchen. (Die Summe ist hier nat\u00fcrlich wegen der Mehrlingsgeburten gr\u00f6\u00dfer als 1000.) Best\u00e4tigt dieses Ergebnis die Angabe der Hebamme oder ist die Wahrscheinlichkeit gr\u00f6\u00dfer?<\/p>\n<p>Diese Frage k\u00f6nnten wir uns von einem Statistiker beantworten lassen, der unsere Problemstellung in folgendes Modell \u00fcbersetzt: Gegeben sind 1000 Urnen. Jede Urne enth\u00e4lt 100 Kugeln und 51 sind davon wei\u00df. Aus jeder der 1000 Urnen wird eine Kugel gezogen. Eine empirische \u00dcberpr\u00fcfung zeigt 521 wei\u00dfe Kugeln. Unter der Annahme der Hypothese, dass die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr wei\u00dfe Kugeln 51 Prozent betr\u00e4gt und bei einer Quote an Mehrlingsschwangerschaften von 1,2 Prozent, ist das Ergebnis von 521 Kugeln akzeptabel. &#8211; Solche Urnenmodelle und die komplexe Mathematik, die sich dahinter verbirgt, m\u00f6gen Gr\u00fcnde sein, warum sich so wenige Menschen f\u00fcr Statistik erw\u00e4rmen k\u00f6nnen. &#8211;<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4398 alignleft\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17-300x159.png\" alt=\"\" width=\"423\" height=\"224\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17-300x159.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17-1030x545.png 1030w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17-768x406.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17-710x375.png 710w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17-705x373.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie17.png 1100w\" sizes=\"auto, (max-width: 423px) 100vw, 423px\" \/><\/div>\n<p>Ist die obige Frage damit befriedigend beantwortet? Ja und Nein. Zun\u00e4chst einmal verstimmt uns dieses Modell emotional, weil 1000 Schwangerschaften in 1000 Urnen transformiert wurden, was den Schwangeren kaum gefallen d\u00fcrfte, und aus den liebenswerten Neugeborenen wurden glatte wei\u00dfe Kugeln. Dem Statistiker ist es egal, ob wir Menschen oder Kugeln betrachten, weil es f\u00fcr seine mathematischen Modelle irrelevant ist. Aber selbst wenn wir unsere Emotionen unterdr\u00fccken und wenn der Statistiker das richtige Modell ausgew\u00e4hlt und korrekt gerechnet h\u00e4tte, w\u00e4re die Antwort nicht zufriedenstellend. Wir wissen dann n\u00e4mlich nur, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, wenn extrem viele Frauen Kinder geb\u00e4ren. Da unsere Freundin nicht extrem viele Kinder bekommen m\u00f6chte und sie eigentlich nur die Wahrscheinlichkeit f\u00fcr ihre gegenw\u00e4rtige Schwangerschaft wissen wollte, k\u00f6nnen wir nur anerkennend zugestehen, dass wir das nicht wissen. Wir kennen nicht das Ergebnis f\u00fcr die \u201e<i>unendliche Reihe<\/i>\u201c einer bestimmten Frau. Ja selbst f\u00fcr alle Frauen sind die Ergebnisse fraglich. Wir verf\u00fcgen insgesamt nur \u00fcber eine relative Sicherheit bei einer sehr gro\u00dfen Zahl an vergleichbaren Wiederholungen. Aber vielleicht geh\u00f6rt unsere Freundin mit ihrem Lebensgef\u00e4hrten zu den Paaren, die nur T\u00f6chter oder nur S\u00f6hne geb\u00e4ren &#8211; aus welchen Gr\u00fcnden auch immer. Die Frage, die unsere Freundin der Hebamme stellte, ist mit der frequentistischen Interpretation nicht zu beantworten.<\/p>\n<p>Die frequentistische Sichtweise ist in der Medizin oder in den Wirtschafts- oder Sozialwissenschaften kaum geeignet. Niemand kennt medizinische, soziologische oder wirtschaftliche H\u00e4ufigkeiten, die auf einer exakten Wiederholung von sehr vielen Versuchen basieren. Wir haben es hier nicht mit unendlichen Urnen zu tun, sondern mit Menschen, mit Schwangerschaften, komplexen wirtschaftlichen oder sozialen Objekten. Und es geht auch nicht um glatte, einfarbige Kugeln, sondern um sehr komplizierte Sachverhalte, die die Ergebnisse in vielen Facetten modulieren. Es wundert deshalb nicht, dass die meisten Studienergebnisse aus diesen Bereichen nur mit einer hohen Ungewissheit \u00fcbertragbar sind oder von vornherein in Frage gestellt werden. Hinzu kommt, dass wir unsere Versuchsreihen in der Regel so klein wie m\u00f6glich w\u00e4hlen, um Ressourcen zu sparen. Wir sind damit ganz weit von dem angestrebten Grenzbegriff entfernt, der oben unterstellt wird. Wenn wir jetzt noch bedenken, dass wir uns h\u00e4ufig f\u00fcr Einzelereignisse interessieren, dann wird diese Interpretation noch fragw\u00fcrdiger. Sollen wir der \u00e4lteren Dame im obigen Beispiel etwa ernsthaft sagen, dass zu ungef\u00e4hr f\u00fcnf Prozent ein Bruch der Darmnaht auftritt, wenn wir sie 1000mal operieren w\u00fcrden?<\/p>\n<h2 id=\"sigil_toc_id_31\">16.4 Subjektivismus<\/h2>\n<p>Wir wenden uns jetzt der zweiten Interpretation zu, die subjektivistische oder personale Wahrscheinlichkeit genannt wird. Sie fu\u00dft auf den \u00dcberlegungen von Thomas Bayes (1702-1761) und wurde im letzten Jahrhundert von Bruno de Finetti zu einer echten Konkurrenz entwickelt. Bei diesem Wahrscheinlichkeitsbegriff wird von vornherein keine objektive Wahrscheinlichkeit gesucht, die es genau zu erfassen gilt. Es wird nicht unterstellt, dass eine objektive Realit\u00e4t erkannt werden soll. Es wird nicht unterstellt, dass die Ereignisse per se eine bestimmte, uns unbekannte Wahrscheinlichkeit aufweisen. Der Ausgangspunkt dieser zweiten Interpretation ist vielmehr unser subjektiver Grad an Ungewissheit, unser Glaube an ein Ereignis. Je nachdem, wie \u00fcberzeugt wir von etwas sind oder wie stark wir etwas bezweifeln, sch\u00e4tzen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unterschiedlich ein. Wir legen unsere Kenntnisse zu Grunde, die wir \u00fcber den Sachverhalt haben, und bewerten danach, ob das Ereignis sicher oder weniger sicher eintreten wird. Wir nutzen dazu alle verf\u00fcgbaren Informationen sowie die pers\u00f6nlichen Erfahrungen, um die Unsicherheit des Ereignisses abzusch\u00e4tzen. Da jeder Mensch \u00fcber unterschiedliches Wissen verf\u00fcgt, unterstellen wir nicht, dass alle Menschen die Wahrscheinlichkeit desselben Ereignisses gleichartig bewerten. Ja, selbst wenn wir uns auf dieselben Informationen st\u00fctzen, werden wir das Risiko oder die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses manchmal unterschiedlich einsch\u00e4tzen.<\/p>\n<p>Der Vorteil dieser Interpretation ist bestechend, denn sie beschreibt sehr gut unseren t\u00e4glichen Umgang mit Unsicherheiten. Menschen sind n\u00e4mlich sehr vorlaut und haben immer eine \u00dcberzeugung parat, die fundiert sein mag oder nicht. Wir sind bereit, \u00fcber alles zu reden und Vermutungen anzustellen. Unsere \u00dcberzeugungen sind dabei nicht statisch festgelegt, sondern sie \u00e4ndern sich, wenn neue Informationen verf\u00fcgbar werden.<\/p>\n<div class=\"ir\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-4399 alignright\" src=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie18-300x215.png\" alt=\"\" width=\"481\" height=\"345\" srcset=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie18-300x215.png 300w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie18-768x549.png 768w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie18-260x185.png 260w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie18-705x504.png 705w, http:\/\/berlin-boehm.de\/wp-content\/uploads\/2023\/04\/Folie18.png 1000w\" sizes=\"auto, (max-width: 481px) 100vw, 481px\" \/><\/div>\n<p>Wir lernen aus jeder sich uns darbietenden neuen Erfahrung, nehmen die Informationen auf und bewerten die Situation neu. Auf diese Weise wirken sich pers\u00f6nliche Erfahrungen st\u00e4rker aus als die Erfahrungen anderer. Manchmal sind wir auch so \u00fcberzeugt von uns, dass wir unsere pers\u00f6nlichen \u00dcberzeugungen \u00fcber den Sachverstand von Experten stellen.<\/p>\n<p>Es gab von Beginn an gro\u00dfe Vorurteile gegen diese Interpretation der Wahrscheinlichkeit, die so wenig mathematisch anmutet. Glaubensgrade erscheinen auf den ersten Blick schlechter quantifizierbar als H\u00e4ufigkeiten. Es ist dem Mathematiker Bruno de Finetti zu verdanken, diese subjektive Auffassung sehr gut pr\u00e4zisiert zu haben. Wir k\u00f6nnen n\u00e4mlich unseren Grad an Gewissheit dadurch zum Ausdruck bringen, wie hoch wir bereit w\u00e4ren, eine Wette auf ein Ereignis abzuschlie\u00dfen. Und damit w\u00e4re der Glaube quasi als Wettquotient wieder quantifizierbar. Durch den Wettquotienten k\u00f6nnen wir mit der subjektiven Wahrscheinlichkeit auch rechnen, vorausgesetzt wir verhalten uns beim Wetten koh\u00e4rent. Dadurch erf\u00fcllt die subjektivistische Interpretation genauso das mathematische Kalk\u00fcl wie die objektivistische Betrachtungsweise.<\/p>\n<p>Nat\u00fcrlich w\u00fcrden wir bei unseren Wetten alle verf\u00fcgbaren Informationen ber\u00fccksichtigen, denn wir wollen ja schlie\u00dflich gewinnen. Informationen \u00fcber relative H\u00e4ufigkeiten aus sorgf\u00e4ltigen Studien h\u00e4tten dabei nat\u00fcrlich einen sehr hohen Stellenwert. Aber auch die eigene oder fremde Erfahrung, widerspr\u00fcchliche Informationen aus den Studien und die Verl\u00e4sslichkeit der verf\u00fcgbaren Informationen w\u00fcrden in unsere gesamte Beurteilung integriert. Jede subjektive Beurteilung beruht so auf kluger Abw\u00e4gung, Vern\u00fcnftigkeit und Berechnung.<\/p>\n<p>Blicken wir zur\u00fcck auf unser Beispiel aus dem Krankenhaus. Wie k\u00f6nnen wir jetzt unsere Wahrscheinlichkeit interpretieren und was teilen wir der Mutter und Tochter mit? Wir dr\u00fccken letztlich unsere pers\u00f6nliche \u00dcberzeugung aus und ber\u00fccksichtigen dabei selbstverst\u00e4ndlich, dass wir auf eine kranke 85j\u00e4hrige Patientin weniger wetten w\u00fcrden als auf eine gesunde 50j\u00e4hrige Patientin. Wobei wir beide Wetten gewinnen oder verlieren k\u00f6nnen. Es w\u00e4re f\u00fcr Patienten vor Operationen viel sinnvoller, den Operateur zu fragen, wie viel er auf einen komplikationslosen Verlauf wetten w\u00fcrde, als nach irgendwelchen H\u00e4ufigkeiten zu fragen. Solch ein Gedankengang ist sicherlich gew\u00f6hnungsbed\u00fcrftig, weil wir vorher kaum vermutet h\u00e4tten, dass die medizinische Behandlung sich nach Wetten richtet. Die \u00c4rzte werden sicherlich protestieren, dass Krankenh\u00e4user mit Wettb\u00fcros verglichen werden, denn schlie\u00dflich herrscht hier medizinischer Sachverstand! Aber Sachverstand beherrscht auch die Rennbahn, Sportveranstaltungen oder Versicherungsgesellschaften. Ohne Sachverstand wird man die Wetten langfristig verlieren.<\/p>\n<\/div><\/section>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_themeisle_gutenberg_block_has_review":false,"footnotes":""},"categories":[41],"tags":[],"class_list":["post-4558","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-statistikbuch"],"yoast_head":"<!-- This site is optimized with the Yoast SEO plugin v27.9 - https:\/\/yoast.com\/product\/yoast-seo-wordpress\/ -->\n<title>Wahrscheinlichkeit - Berliner Gelassenheit<\/title>\n<meta name=\"robots\" content=\"index, follow, max-snippet:-1, max-image-preview:large, max-video-preview:-1\" \/>\n<link rel=\"canonical\" href=\"http:\/\/berlin-boehm.de\/Kanty\/archive\/4558\" \/>\n<meta property=\"og:locale\" content=\"de_DE\" \/>\n<meta property=\"og:type\" content=\"article\" \/>\n<meta property=\"og:title\" content=\"Wahrscheinlichkeit - 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